Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran

Dalam menentukan panjang garis singgung lingkaran materi prasyarat yang harus terlebih dahulu kita pahami adalah materi teorema Pythagoras. Pada pembahasan kali ini saya akan membahas mengenai menentukan panjang garis singgung suatu lingkaran. Dimana saya batasi pada menentukan panjang garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran, menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, serta menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

A. Menentukan Panjang Garis Singgung yang Melalui Satu Titik Di Luar Lingkaran

Lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OA dan OA tegak lurus garis PA. Garis PA adalah garis singgung lingkaran melalui titik P di luar lingkaran. Karena setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90o maka segitiga PAO adalah segitiga siku-siku PAO. Dengan teorema Pythagoras berlaku

Sehingga, panjang garis singgung lingkaran (PA) dapat dicari dengan menggunakan rumus

 

Contoh:
Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB = 3 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 5 cm maka tentukan panjang garis singgung AB.
Jawab:

Jadi, panjang garis singgung AB = 4 cm

B. Menentukan  Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

 

Dari gambar tersebut diperoleh
jari-jari lingkaran yang berpusat di M = R;
jari-jari lingkaran yang berpusat di N = r;
panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d;
jarak titik pusat kedua lingkaran adalah MN = p.
Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BN maka diperoleh garis ON.
Garis ON sejajar AB, sehingga sudut MON = sudut MAB = 90o (sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS.
Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.

Jadi, segi empat ABNO merupakan persegi panjang dengan panjang AB =ddan lebar BN = r.

Perhatikan bahwa segitiga MNO siku-siku di titik O. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh

 

Karena panjang ON = AB dan MO = R + r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

 

Contoh:

Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 4 cm dan 3 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 25 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut!

Jawab:

 

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran = 24 cm

C. Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dari gambar tersebut diperoleh
jari-jari lingkaran yang berpusat di M = R;
jari-jari lingkaran yang berpusat di N = r;
panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = l;
jarak titik pusat kedua lingkaran adalah MN = p.
Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BN maka diperoleh garis ON.
Garis AB sejajar ON, sehingga sudut MON = sudut MAB = 90o (sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.
Segitiga MNO  siku-siku di O, sehingga berlaku

 

Karena panjang ON = AB dan MO = R – r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (l) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

Contoh:
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 15 cm dan 5 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm. Hitunglah jarak kedua titik pusat kedua lingkaran tersebut!
Jawab:

Jadi, jarak kedua titik pusatnya = 26 cm